单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+n x^{2 n}}$, 则 $f(x)$
$\text{A.}$ 在 $x=1, x=-1$ 处都连续
$\text{B.}$ 在 $x=1$ 处连续, $x=-1$ 处不连续
$\text{C.}$ 在 $x=1, x=-1$ 处都不连续
$\text{D.}$ 在 $x=1$ 处不连续, $x=-1$ 处连续
设 $I=\int_a^{a+k \pi}|\sin x| d x, k$ 为整数, 则 $I$ 的值
$\text{A.}$ 只与 $a$ 有关
$\text{B.}$ 只与 $k$ 有关
$\text{C.}$ 与 $a, k$ 均有关
$\text{D.}$ 与 $a, k$ 均无关
设 $f(x, y)$ 是连续函数, 则 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} d x \int_{\sin x}^1 f(x, y) d y=$
$\text{A.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^1 d y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^1 d y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{1}{2}} d y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) d x$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{1}{2}} d y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) d x$
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $\ln (2+x)$, 则 $\sum_{n=0}^{\infty} n a_{2 n}$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^T A x$ 在正交变换下可化成 $y_1^2-2 y_2^2+3 y_3^2$, 则二次型 $f$ 的矩阵 $A$ 的行列式与迹分别为
$\text{A.}$ $-6,-2$
$\text{B.}$ $6,-2$
$\text{C.}$ $-6,2$
$\text{D.}$ $6,2$
设 $A$ 为 3 阶矩阵, $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$. 若 $P^T A P^2=\left(\begin{array}{ccc}a+2 c & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ 2 c & 0 & c\end{array}\right)$, 则
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a+1 & b & 3 \\ a & \frac{b}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right), M_{i j}$ 表示 $A$ 的 $i$ 行 $j$ 列元素的余子式.若 $|A|=-\frac{1}{2}$, 且 $-M_{21}+M_{22}-M_{23}=0$, 则
$\text{A.}$ $a=0$ 或 $a=-\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $a=0$ 或 $a=\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $b=1$ 或 $b=-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $b=-1$ 或 $b=\frac{1}{2}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}6 x(1-x), 0 < x < 1 \\ 0, \text {, 其他 }\end{array}\right.$, 则 $X$ 的三阶中心距 $E(X-E X)^3= $
$\text{A.}$ $-\frac{1}{32}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $\frac{1}{16}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
随机变量 $X, Y$ 相互独立, 其 $X \sim N(0,2), \quad Y \sim N(-1,1)$, 记 $p_1=P\{2 X>Y\}, p_2=P\{X-2 Y>1\}$, 则
$\text{A.}$ $ p_1>p_2>\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $p_2>p_1>\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $p_1 < p_2 < \frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $p_2 < p_1 < \frac{1}{2}$
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且均服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 令 $Z=|X-Y|$, 则下列随机变量中与 $Z$ 同分布的是
$\text{A.}$ $X+Y$
$\text{B.}$ $\frac{X+Y}{2}$
$\text{C.}$ $2 X$
$\text{D.}$ $X$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\int_0^x \frac{\left(1+t^2\right) \sin t^2}{1+\cos t^2} d t$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小, 则 $k=$
$\int_2^{+\infty} \frac{5}{x^4+3 x^2-4} d x=$
函数 $f(x, y)=2 x^3-9 x^2-6 y^4+12 x+24 y$ 的极值点是
某产品的价格函数为 $p=\left\{\begin{array}{l}25-0.25 Q, Q \leq 20, \\ 35-0.75 Q, Q>20\end{array}(p\right.$ 为单价, 单位:万元; $Q$ 为产量, 单位: 件), 总成本函数为 $C=150+5 Q+0.25 Q^2$ (万元), 则经营该产品可获得的最大利润为 (万元).
设 $A$ 为 3 阶矩阵, $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵, $E$ 为 3 阶单位矩阵. 若 $r(2 E-A)=1, r(E+A)=2$, 则 $\left|A^*\right|=$
设随机试验每次成功的概率为 $p$, 现进行 3 次对立重复试验, 在至少成功 1 次的条件下 3 次试验全部成功的概率为 $\frac{4}{13}$, 则 $p=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设平面有界区域 $D$ 位于第一象限, 由曲线 $x y=\frac{1}{3}, x y=3$ 与直线 $y=\frac{1}{3} x, y=3 x$ 围成, 计算 $\iint_D(1+x-y) d x d y$.
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z+e^x-y \ln \left(1+z^2\right)=0$ 确定, 求 $\left.\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right)\right|_{(0,0)}$.
设 $t>0$, 平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=x e^{-2 x}$ 与直线 $x=t, x=2 t$ 及$x$ 轴围成, $D$ 的面积为 $S(t)$, 求 $S(t)$ 的最大值.
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, 且 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$. 证明:
(1) 当 $x \in(0,1)$ 时, $|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}$;
(2) $\left|\int_0^1 f(x) d x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{array}\right)$, 向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$,
$\boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$
(1) 证明: 方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}$ 的解均为方程组 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的解;
(2) 若方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}$ 与方程组 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 不同解, 求 $a$ 的值.
设总体 $X$ 服从 $[0, \theta]$ 上的均匀分布, 其中 $\theta \in(0,+\infty)$ 为未知参数.
$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 得简单随机样本, 记
$X_{(n)}=\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}, T_c=X_{(n)} .$
(1) 求 $c$, 使得 $E\left(T_c\right)=\theta$;
(2) 记 $h(c)=E\left(T_c-\theta\right)^2$, 求 $c$ 使得 $h(c)$ 最小.